Question

各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+≤对一切n∈N⁺恒成立．

Answer

（Ⅰ）题意知an2为首项为1，公差为2的等差数列，由此可知
（Ⅱ）只需证：．由数学归纳法进行证明即可．
【解析】
（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则
（Ⅱ）只需证：．
1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即，
当n=k+1时，左边=．

=
=．命题成立
由①②可知，++…+≤对一切n∈N+恒成立．