Question

已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x²+（y-1）²=8内切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．
（Ⅱ）以为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B，在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）．若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，根据椭圆的定义即可求得动点M（x，y）的轨迹E的方程；
（Ⅱ）假设存在在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形，设出直线l的方程，联立直线和椭圆方程，利用平行四边形的充要条件结合韦达定理即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）依题意，点G（0，-1）在圆Q：x2+（y-1）2=8内部，
动圆与定圆相内切，且动圆在定圆内部，
∴得|，
可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得，c=1，b=1，
所以曲线E的方程为．…5分
（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为．
设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，得，
由△＞0得m2＜4，且，，…7分
则，y1+y2=，E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是，
即P点的坐标为（x1+x2，y1+y2）
且，
又，，所以可得2x1x2+y1y2+1=0，…9分
可得m2=1，即m=1或m=-1．
当m=1时，，直线l方程为；
当m=-1时，，直线l方程为．  12分．