Question

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．

Answer

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，可先求出，再解出函数的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出再由0＜a＜b得出，代入即可证明出不等式．
【解析】
（Ⅰ）
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分
当m＞0时，由
则，则f（x）在上单调递增，在上单调递减．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；
当m＞0时，只需m-lnm-1≤0即 ….6分
令g（x）=x-lnx-1，
则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分
（Ⅲ）
由0＜a＜b得，
由（Ⅱ）得：，则，
则原不等式成立．…12分