Question

某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这种规律进行下去．设n小时后细胞的个数为a_n（n∈N）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求的表达式．

Answer

（I）由细胞开始时为2个，得到a为2，根据分裂的规律得到an=2an-1-1，变形后得到数列{an-1}构成以a-1=1为首项，2为公比的等比数列，由首项和公比，表示出an-1的通项，变形后即可得到an的通项公式；
（II）由第一问求出的an的通项公式，列举出所求式子的各项，把第一项的2变为1+1后，根据1的个数有n+1个，其余各项为首项为1，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式表示出其余项的和，即可得到所求式子的表达式．
【解析】
（I）由题意可知：a=2，an=2an-1-1，即an-1=2（an-1-1），
∴数列{an-1}构成以a-1=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an-1=（a-1）•2n=2n，
则an=2n+1；
（II）∵a=2，an=2n+1，
∴
=2+（2+1）+（22+1）+…+（2n+1）
=（1+1+…+1）+（1+2+22+…+2n）
=（n+1）+（1+2+22+…+2n）
=n+1+
=2n+n．