Question

已知两点M（-2，0），N（2，0），动点P（x，y）在y轴上的射影为H，是2和的等比中项．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．

Answer

（I）先用坐标表示出向量，进而利用是2和的等比中项，可得，从而求出动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|，所以双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=（当且仅当Q，E．M共线时取“=”），此时，实轴长为2a，最大为；同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为，从而可求实轴最长的双曲线C的方程．
【解析】
（I）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），
所以
∴，
∵是2和的等比中项
∴
∴x2=2（x2-4+y2）
∴为所求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=（当且仅当Q，E．M共线时取“=”），此时，实轴长为2a，最大为
同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为
∴双曲线C的实半轴长为
∵
∴
∴实轴最长的双曲线C的方程为．