Question

已知函数的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

Answer

（1）由题意列出不等式组，求出解集再用区间表示；
（2）用配方法对解析式变形，设t=2x由（1）的结果求出t的范围，则原函数变成关于t的二次函数，再根据对称轴和t的范围进行分类，由二次函数的性质求出对应的最小值．
【解析】
（1）由题意得，，，解得-1≤x＜1
∴函数的定义域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a•2x+2+3•4x）=4a•2x+3•22x=3-a2，
由（1）知，x∈[-1，1），设t=2x，则t∈[，2），
函数变为g（t）=3-a2，又∵a＞-3，∴，
①若≤时，即a≥-，函数g（t）在[，2）上时增函数，
∴f（x）的最小值是g（）=3-a2=2a+，
②若＜＜2时，即-3＜a＜-，当t=时，f（x）取到最小值是-a2．
综上，当a≥-时，f（x）的最小值是2a+；当-3＜a＜-，f（x）的最小值是-a2．