Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0，f（x）＞0，
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）解不等式：．

Answer

（1）令x=y=0，则f（0）=0，再由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x1）与f（x2）的大小即可．
（3）根据奇函数把不等式变形，再根据单调性转化一元二次不等式组，解之即可．
【解析】
（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（0）=0，⇒f（-x）=-f（x），
且函数y=f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数
（2）f（x）为R上的单调增函数，设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞0，
f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）＞f（x1）
∴f（x）为R上的单调增函数
（3）由（1）知f（0）=0及f（x）在R上单调递增
∴原不等式等价于

或
解得解集为