Question

如题19图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的下底面ABCD是边长为a的正方形，AA₁=a，且点A₁在下底面ABCD上的射影恰为D点．
（I）证明：B₁D⊥面A₁CB；
（II）求二面角A₁-BC-B₁的大小．

Answer

（I） 由已知，点A1在下底面ABCD上的射影恰为D点，点B1在下底面ABCD上的射影恰为C点．易证BC⊥面B1DC，得出BC⊥B1D，再根据，又AA1=a，AD=a，求出A1D=a，判断出A1B1CD为正方形，再得出 B1D⊥A1C，且BC∩A1C=C，于是B1D⊥面A1CB；
（Ⅱ）法一：在（I）的基础上，已有BC⊥面B1DC，∴BC⊥B1C，BC⊥A1C，∴∠B1CA1为二面角A1-BC-B1的 平面角，设A1C∩B1D=O，利用sin∠B1CA1==，求得∠B1CA1=45°；
法二：以D点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面A1BC的法向量为，平面B1BC的法向量为 ，利用＜的夹角求出二面角A1-BC-B1的大小．
【解析】
（I）∵点A1在下底面ABCD上的射影恰为D点，∴点B1在下底面ABCD上的射影恰为C点．
即B1C⊥面ABCD，∴B1C⊥BC 又BC⊥CD，BC⊥面B1DC，∴BC⊥B1D，又AA1=a，AD=a，
∴A1D=a，即A1B1CD为正方形，∴B1D⊥A1C，∴B1D⊥面A1CB．
（II）法一：BC⊥面B1DC，∴BC⊥B1C，BC⊥A1C，∴∠B1CA1为二面角A1-BC-B1的 平面角，
设A1C∩B1D=O，则B1C=A1D=a  B1D=a，∴B1O=，∴sin∠B1CA1==，∠B1CA1=45°，
∴二面角A1-BC-B1的大小是45°．
法二：建立空间直角坐标系如图所示，

则A1（0，0，a），B1（0，a，a），B（a，a，0），C（0，a，0）
=（0，a，-a）    =（-a，0，0）=（0，0，-a）
设平面A1BC的法向量为=（x，y，z，）则即
令y=1，得=（0，1，1）
设平面B1BC的法向量为 =（x′，y′，z′），则即，
令y′=1，得=（0，1，0）
cos＜＞==，＜＞=45°，又二面角A1-BC-B1的为锐二面角，所以其大小为45°．