Question

设函数f（x）=（x-1）²+a1nx，其中a为常数．
（Ⅰ）当a＞时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出导函数，对分子配方，判断出导函数大于0恒成立，得到函数的单调性．
（Ⅱ）将已知函数f（x）在其定义域上既有极大值又有极小值转化为2x2-2x+a=0有两个大于0的不等实根，结合二次函数的图象写出约束条件，求出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2x-2+==（x＞0），
当a＞时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）f′（x）=2x-2+=，由已知得到2x2-2x+a=0有两个大于0的不等实根，
所以解得