Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量=（cosB，sinC），=（cosC，-sinB），且•=．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积S=，求b+c的值．

Answer

（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算化简•=，再利用两角和与差的余弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定得到a2=b2+c2-2bccosA，将cosA的值代入，利用完全平方公式整理后，将a与bc的值代入即可求出b+c的值．
【解析】
（1）∵•=，向量=（cosB，sinC），=（cosC，-sinB），
∴cosBcosC-sinBsinC=，即cos（B+C）=，
又cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA=，
∴cosA=-，
又A为三角形的内角，
则A=；
（2）∵△ABC的面积S=，sinA=sin=，
∴S△ABC=bcsinA=bc=，
∴bc=4，又a=2，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2-bc，
即12=（b+c）2-4，整理得：（b+c）2=16，
则b+c=4．