Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列{+（-1）ⁿ}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜2．

Answer

（（1）根据题意，对an=（n≥2）进行变形可得==从而证得结论；
（2）根据（1）求出数列an，从而求得bn，利用分组求和法即可求得结果；
（3）首先确定出数列{cn}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．
【解析】
（1）由an=得：==
∴==
又∵a1=，∴=2-1=1
∴数列列{+（-1）n}是首项为1，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）的结论有，
即．
∴bn==（1+2n-1）2=1+2n+4n-1
∴Sn=（1+2+4）+（1+22+41）+…+（1+2n+4n-1）
=（1+1+…+1）+（2+22+…+2n）+（4+41+…+4n-1）
=
=
（3）∵===（-1）n-1
由cn=ansin==
∴Tn=+…+
==
∴对任意的n∈N*，Tn＜2