Question

若（x+1）⁵-x⁵=a+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴，且a₁（i=0，1，…，4）是常数，则a₁+a₃=    ．

Answer

分别求出等式左、右边展开式的常数项，列出方程求出a，分别求出等式左、右边展开式的一次项，列出方程求出a1，分别求出等式左、右边展开式的二次项，列出方程求出a2，分别求出等式左、右边展开式的三次项，列出方程求出a3，求出a1+a3的值．
【解析】
据题意：（x+1）5-x5=a+a1（x+4）4x+a2（x+1）3x2+a3（x+1）2x3+a4（x+1）x4中，
左式=（x+1）5-x5=C5x5+C51x4+…+C55x-x5=C51x4+C52x3+C53x2+C54x+1，
分析可得左式中常数项为1，右式中常数项为a，则a=1；
左式中x的1次项为5，右式中x的1次项为C51，C51=a1即a1=5
左式中x的2次项为C52，右式中x的2次项为C41a1+a2，则C52=C41a1+a2即4a1+a2=10
解可得，a2=-10
左式中x的3次项为C53，右式中x的3次项为C42a1+C31a2+a3
则C53=C42a1+C31a2+a3即10=6a1+3a2+a3
解可得a3=10
所以a1+a3=15
故答案为15．