Question

如图，在多面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足为E，AE=3，CE=9，
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．

Answer

（1）证明平面ABCD⊥平面ADE，根据面面垂直的判定定理，只需在平面ABCD中找出平面ADE的一条垂线即可；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH，则∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角，先求∠FHE的正弦，进而可得二面角C-BD-E的平面角的余弦值．
（1）证明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD
在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD⊂平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）【解析】
∵CD⊥平面ADE，DE⊂平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
设正方形ABCD的长为x
在直角△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-x2
在直角△ADE中，DE2=AD2-AE2=x2-9
∴81-x2=x2-9
∴
∴DE=6
过点E作EF⊥AD于点F，过F作FH⊥BD于H，连接EH
∴∠FHE为二面角C-BD-E的平面角的补角
在直角△ADE中，
∵AD•EF=AE•DE，∴，
∴，∴
∴
在直角△DFH中，，
∴
∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值为