Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=4，且满足2S_n=n（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若存在正整数n，使成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据2Sn=nan+n，当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an-1+n-1，两式作差，再得到递推关系进行再作差可得数列{an}是等差数列；
（2）先将k分离，可知转化成k≤存在正整数解，然后利用单调性求出不等式右侧最大值，从而求出k的取值范围．
（1）证明：由题意可知2Sn=nan+n
当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an-1+n-1
相减得2an=nan-（n-1）an-1+1
即（n-2）an-（n-1）an-1+1=0     ①
所以（n-3）an-1-（n-2）an-2+1=0    ②
由①-②得（n-2）an-2（n-2）an-1+（n-2）an-2=0（n≥3）
 即an-2an-1+an-2=0（n≥3）
所以数列{an}是等差数列；
（II）【解析】
由（I）得数列{an}是等差数列，an=3n-2
由题意k≤存在正整数解
令bn=＞0
因为
所以{bn}为单调递减数列，故{bn}的最大值为b1=
所以实数k的取值范围为k≤