Question

如图，与抛物线C₁：y=x²相切于点P（a，a²）的直线l与抛物线C₂：y=-x²相交于A，B两点，抛物线C₂在A，B处的切线相交于点Q．
（1）求证：点Q在抛物线C₁上；
（2）若∠QAB是直角，求实数a的值．

Answer

（I）由导数的几何意义可求直线l的方程为y-a2=2a（x-a），由方程，消去y可得x2+2ax-a2=0可求，结合导数可求切线QA、QB的方程，从而可求Q，可证
（II）若∠QAB=90°，则⇔，结合方程的根与系数的关系及a（x2-x1）始终为负值，代入可求a
解法二：若∠QAB=90°，则⇔整理可得，，由x1+x2=-2a，消去x2得，由于x1与a同号可求x1，进而可求a
证明：（I）∵y′=2x
∴y′|x=a=2a，直线l的方程为y-a2=2a（x-a）（2分）
令A（），B（），由方程，消去y可得x2+2ax-a2=0
∴（4分）
∵y′|x=x1=-2x1，
∴切线QA的方程（1）
切线QB的方程（2）
（1）（2）联立可得即Q （-a，a2）
∴点Q在抛物线C1上（7分）
（II）若∠QAB=90°，则
∴
∴+a4-a2=0（11分）
∵=8a4
由于a（x2-x1）始终为负值
∴（13分）
∴
∴（15分）
解法二：若∠QAB=90°，则
∴
整理可得，（1）（11分）
∴x1+x2=-2a，消去x2得，解得
由于x1与a同号∴  （2）（13分）
把（2）代入（1）可得，（12-8）a2=
∴（15分）