Question

已知定义在同一个区间（，）上的两个函数f（x）=x²-2alnx，g（x）=x³-bx²+x在x=x处的切线平行于x轴．
（1）求实数a和b的取值范围；
（2）试问：是否存在实数x₁，x₂，当x₁，x，x₂成等比数列时，等式f（x₁）+f（x₂）=2g（x）成立？若成立，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据函数f（x）与g（x）在x=x处的切线平行于x轴可知f′（x）=0的解在区间（，）上，可求出a的取值范围，然后根据g′（x）=0将b用a表示，根据a的范围可求出b的取值范围；
（2）假设存在实数x1，x2∈（，）则x1•x2=a，根据f当x1，x，x2成等比数列时等式（x1）+f（x2）=2g（x）成立建立等式关系，然后构造函数，根据导数研究函数的单调性从得到（x1-x2）2＜0，从而可得结论．
【解析】
（1）f′（x）=2x-令f′（x）=0
∵a＞0∴x=
∵＜＜
∴＜a＜
g′（x）=3x2-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b+1=0
∴b==（3+）
∵＜t=＜
∴（3t+）在（，）上单调递减则b∈（，）
（2）假设存在实数x1，x2∈（，）则x1•x2=a
由题意得x12+x22-2alnx1-2alnx2=-a+
x12+x22-2x1•x2=2alna-a+-2a
令φ（a）=2alna-a+-2a  （＜a＜）
φ′（a）=2lna+-
φ‘’（a）=
∴φ′（a）在（，）上是增函数
∴φ′（a）＜φ′（）=2ln-＜0
∴φ（a）在（，）上是减函数
∴φ（a）＜φ（）=ln+--＜0
∴（x1-x2）2＜0
即不存在满足条件的x1与x2．