Question

对于x∈（1，2]，关于x的不等式＜1总成立，求实数a的取值范围．

Answer

由题意可得，lg（a+x）＞0，则由不等式＜1总成立可得（2a-1）x＜a总成立，从而需要对2a-1的正负讨论
（1）a＞时，由1＜x≤2时x＜可得x＜的最小值即可；（2）a=时，（3）0＜a＜时，x＞，x＞的最大值即可，从而可求a的范围
【解析】
由1＜x≤2，得a＞0，a+x＞1，
∴lg（a+x）＞0
∵＜1总成立
∴lg2ax＜lg（a+x），即2ax＜a+x  
∴（2a-1）x＜a总成立
（1）a＞时，x＜，由1＜x≤2时x＜总成立，得＞2，
∴＜a＜
（2）a=时，有0•x＜
∴1＜x≤2时不等式总成立
（3）0＜a＜时，x＞，由1＜x≤2时x＞总成立，
∴a≤1，
综合0＜a＜，得0＜a＜
综上三类讨论可得，0＜a＜