Question

已知函数f（x）=（b＜0）的值域是[1，3]，
（1）求b、c的值；
（2）判断函数F（x）=lgf（x），当x∈[-1，1]时的单调性，并证明你的结论；
（3）若t∈R，求证：lg≤F（|t-|-|t+|）≤lg．

Answer

（1）设y=，则（y-2）x2-bx+y-c=0，由判别式△≥0可得4y2-4（2+c）y+8c-b2≤0，且它的解集是
[1，3]，故1，3是方程4y2-4（2+c）y+8c+b2=0的两根，利用根与系数的关系求出b、c的值．
（2）任取x1，x2∈[-1，1]，且x2＞x1，然后判断f（x2）-f（x1）的符号再由单调性的定义得出结论．
（3）记 u=，则可得 ，即-≤u≤，由F（x）的单调性可得
F（）≤F（u）≤F（-），由此证得结论．
解；（1）设y=，则（y-2）x2-bx+y-c=0．  ①
∵x∈R，∴①的判别式△≥0，即 b2-4（y-2）（y-c）≥0，即4y2-4（2+c）y+8c-b2≤0．  ②
由条件知，不等式②的解集是[1，3]，
∴1，3是方程4y2-4（2+c）y+8c+b2=0的两根，故有 ，
∴c=2，b=-2，或b=2（舍），即f（x）==2-．
（2）任取x1，x2∈[-1，1]，且x2＞x1，则有 x2-x1＞0，且（x2-x1）（1-x1x2）＞0，
∴f（x2）-f（x1）=-＜0，
∴f（x2）＜f（x1），lgf（x2）＜lgf（x1），即F（x2）＜F（x1），∴F（x）为减函数．
（3）记 u=，则可得 ，即-≤u≤，
根据F（x）的单调性知，F（）≤F（u）≤F（-）恒成立．
又f（）=2-=，f（-）=2-=，
∴lg≤F（|t-|-|t+|）≤lg对任意实数t 成立．