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已知:函数f(x)=ax++c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=,f...

已知:函数f(x)=ax+manfen5.com 满分网+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=manfen5.com 满分网,f(2)=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,manfen5.com 满分网)上的单调性并说明理由;
(Ⅲ)试求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值.
(Ⅰ)由函数是奇函数得f(-x)+f(x)=0代入求得c的值,又因为f(1)=,f(2)=,代入得到a与b的方程,联立求出a、b即可; (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)的解析式,求出f′(x),在(0,)上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间; (Ⅲ)令导函数等于0求得x=,根据x的取值区间讨论导函数的增减性,得到函数的最小值. 【解析】 (Ⅰ)∵函数f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=0 即-ax-+c+ax++c=0∴c=0 由f(1)=,f(2)=,得a+b=,2a+=解得a=2,b= ∴a=2,b=,c=0 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+,∴f′(x)=2- 当x∈(0,)时,0<2x2<,>2 ∴f′(x)<0,即函数f(x)在区间(0,)上为减函数. (Ⅲ)由f′(x)=2-=0,x>0得x= ∵当x>,<2, ∴f′(x)>0, 即函数f(x)在区间(,+∞)上为增函数.在(0,)上为减函数. 所以f(x)的最小值=f()=2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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