Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=2，当n≥2时有 S_n=3S_n-1+2．
（1）求证{S_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）利用Sn=3Sn-1+2，得到Sn+1=3Sn-1+2+1，推出，即可判断数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）利用（1）求出数列的前n项和公式，利用an=Sn-Sn-1求数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）∵Sn=3Sn-1+2
∴Sn+1=3Sn-1+2+1
∴…（4分）
又∵S1+1=a1+1=3
∴数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．…（6分）
（2）由（1）得∴，
∴…（8分）
∴…（10分）
又当n=1时，a1=2也满足上式，…（12分）
所以，数列{an}的通项公式为：…（14分）