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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4...

manfen5.com 满分网如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求证:AC1∥平面CDB1
(3)求二面角C1-AB-C的正切值.
(1)欲证AC⊥BC1,而BC1⊂平面BCC1B1,可先证AC⊥平面BCC1B1,而AC⊥BC,AC⊥CC1,且BC∩CC1=C,满足定理所需条件; (2)欲证AC1∥平面CDB1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行,设CB1与C1B的交点为E,连接DE,根据中位线定理可知DE∥AC1,DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,满足定理条件; (3)过点C作CF⊥AB于F,连接C1F,根据二面角平面角的定义可知∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角,在直角三角形C1FC中求出此角的正切值即可. 证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1, ∵底面三边长AC=3,AB=5,BC=4, ∴AC⊥BC,(1分) 又直三棱柱ABC-A1B1C1中AC⊥CC1, 且BC∩CC1=C BC∩CC1⊂平面BCC1B1 ∴AC⊥平面BCC1B1 而BC1⊂平面BCC1B1 ∴AC⊥BC1; (2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,(5分) ∵D是AB的中点,E是BC1的中点, ∴DE∥AC1,(7分) ∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1.(8分) (3)【解析】 过点C作CF⊥AB于F,连接C1F(9分) 由已知C1C垂直平面ABC,则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角(11分) 在Rt△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,则CF=(12分) 又CC1=AA1=4 ∴tan∠C1FC=(13分) ∴二面角C1-AB-C的正切值为(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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