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设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1...

设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅰ)函数在切点处的导数值为切线斜率,切点在切线上,列方程解. (Ⅱ)导函数大于0对应区间是单调递增区间;导函数小于0对应区间是单调递减区间. 【解析】 (Ⅰ)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11), 所以f(1)=-11,f′(1)=-12,即: 1-3a+3b=-11解得:a=1,b=-3. 3-6a+3b=-12 (Ⅱ)由a=1,b=-3得:f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3) 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3; 又令f′(x)<0,解得-1<x<3. 故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数, 当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数, 但当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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