Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形 且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥P-BDC的体积．
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过证BD⊥AC，BD⊥PA，得出BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，推出平面PBD⊥平面PAD．
（2）直接利用，求解几何体的体积．
（3）设AC∩BD=O，则EO⊥PC，利用△COE∽△CPA，求出CE即可．
【解析】
（1）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面为菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，
因为PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，
所以平面PBD⊥平面PAD
（2）因为PA⊥底面ABCD，所以PA是底面BCD上的高，
所以：
（3）存在；
设AC∩BD=O，则EO⊥PC，
易知△COE∽△CPA，，
四棱锥P-ABCD的底面为菱形 且∠ABC=120°，AB=2，PA=，
AC=2CO=2，PC==，

=，
∴．