Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（）．又数列{a_n}满足，a₁=，a_n+1=．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_2n+1-T_n≤（其中m∈N^*）对N∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer

（I）利用赋值法先求出f（0）的值，然后令x=0，y∈（-1，1）可得f （-y）=-f （y），然后根据奇函数的定义可得结论；
（II）令x=an，y=-an，可得f （an）与f （an+1）的关系，从而可知数列{f（an）}是以f（a1）=f（）=-1为首项，2为公比的等比数列，从而求出所求；
（III）先求出bn，表示出前n项和Tn，然后根据T2n+1-Tn≤（其中m∈N*）对N∈N*恒成立，只需利用单调性研究T2n+1-Tn的最大值，建立不等式关系，解之即可．
（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（），
可解得f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（），即f （-y）=-f （y），
∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
令x=an，y=-an，于是f（an）-f（-an）=f（），
由已知得2f （an）=f （an+1），
∴，
∴数列{f（an）}是以f（a1）=f（）=-1为首项，2为公比的等比数列．
∴f（an）═1×2n-1=-2n-1…（8分）
（III）【解析】
由（II）得f（an+1）=-2n，于bn=．
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=（1+++…），
T2n+1=（1+++…），
∴T2n+1-Tn=（++…+）．
令k（n）=（++…+）．
于是k（n+1）=（++…+）．
∴k（n+1）-k（n）=（+-）=-＜0．
∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上单调递减，
∴k（n）max=k（1）=T3-T1=，
∴≥即m≥．
∵m∈N*，
∴m的最小值为7．…（12分）