Question

己知函数f（x）=-1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（II）已知s，t为正实数，求证：t^te^x≥s^te^t（其中e为自然对数的底数）；
（III）是否存在实数m，使得函数y=f（）+2m的图象与函数y=g（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（I）求出F（x）的导函数，通过对参数a的讨论，判断出导函数的符号，进一步得到函数的单调性．
（II）先求出当a=1时F（x）的导函数，通过导函数判断出函数的单调性，求出函数的最小值，得到≥F（1）=0，整理不等式得到所要证的不等式．
（III）由已知得，分离出参数m，构造函数h（x），通过导数求出函数的单调性及极值，画出函数h（x）的草图，判断出m的范围．
【解析】
（Ⅰ）F（x）=-1+lnx．
F′（x）=，
①当a≤0时，F′（x）≥0，
∴F（x）在（0，3）上是增函数；
②当0＜a＜3时，x∈（0，a）时，F′（x）≤0，∴F（x）在（0，a）上是减函数；
x∈（a，3）时，F′（x）≥0，∴F（x）在（a，3）上是增函数．
③当a≥3时，F′（x）≤0，∴F（x）在（0，3）上是减函数．…（4分）
（Ⅱ）令a=1，则F（x）=-1+lnx，于是F′（x）=，
∴F（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
∴在区间（0，+∞）上F（x）有F（x）min=F（1）=0．
∵≥F（1）=0，
即≥0，
整理得≥，即，即ttes≥stet．…（8分）
（III）由已知得，代入整理得．
于是题意即为直线y=m与y=的图象有4个不同的交点．
令h（x）=，
则．

x （-∞，-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
h′（x） + - + -
h（x） ↗ 极大值
↘ 极小值 ↗ 极大值
↘

可绘出h（x）的大致图象如图．
由图象可知当m∈（，）时满足有四个不同的交点．
∴存在实数时满足条件．…（14分）