Question

已知函数f（x）=x³-ax²+4（a∈R）．
（I）若x=是f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）在区间（-1，a）上的极大值；
（II）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数f′（x）=3x2-2ax，根据x=是f（x）的一个极值点可得=0，从而可求a的值，确定函数的单调性，进而可求f（x）在（-1，4）上的极大值；
（Ⅱ）要使f（x）在区间[1，2]内至少有一个实数x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]内的最小值小于0．利用f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x1=0，，故进行分类讨论：①当≤0即a≤0；②当≤1即0＜a≤；③当1＜＜2即；④≥2即a≥3，求出相应的最小值，从而可求实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知有f′（x）=3x2-2ax，
∵x=是f（x）的一个极值点
∴=0，解得a=4． …（2分）
于是f′（x）=3x2-8x=x（3x-8），令f′（x）=0，得x=0或x=．

x （-1，0） （0，） （，4）
f′（x） + - +
f （x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

于是当x=0时，f（x）在（-1，4）上有极大值f（0）=4．…（7分）
（Ⅱ）要使f（x）在区间[1，2]内至少有一个实数x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]内的最小值小于0．
∵f′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x1=0，，
①当≤0即a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函数，
由f（x）min=f（1）=3-2a＜0，解得．这与a＜0矛盾，舍去．
②当≤1即0＜a≤时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函数．
由f（x）min=f（1）=3-2a＜0，解得．这与0＜a≤矛盾，舍去．
③当1＜＜2即时，
当1≤时，f′（x）＜0，∴f（x）在上是减函数，
当≤x＜2时，f′（x）＞0，∴f（x）在上是增函数．
∴，解得a＞3．这与＜a＜3矛盾，舍去．
④≥2即a≥3时，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f（x）min=f（2）=12-4a＜0，解得a＞3．结合a≥3得a＞3．
综上，a＞3时满足题意．…（12分）