Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=9．
其中所有正确结论的序号是    ．

Answer

依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确，③错误．
【解析】
①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，正确；
②取x∈（3m，3m+1]，，
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3nf（1+）=3n（3-（1+））=3n（2-）≠9，故③错误；
故答案为：①②．