Question

已知点P（x，y）与点连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证为常数．

Answer

（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为与，（x），由题设知，由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设E（x1，y1），F（x2，y2），设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），将它代入x2-y2=2，得（k2-1）x2-4k2x+4k2+2=0．由韦达定理，得，由此能求出=-1．直线斜率不存在时，E（2，），F（2，-），．所以为常数-1．
（本题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为与，（x），…（2分）
∵点P（x，y）与点连线的斜率之积为1，
∴，
即y2=x2-2，…（4分）
所求点P的轨迹方程为x2-y2=2，（x）．…（5分）
（Ⅱ）设E（x1，y1），F（x2，y2），
设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）
将它代入x2-y2=2，
得（k2-1）x2-4k2x+4k2+2=0．…（7分）
由韦达定理，得，…（8分）
∴
=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2
=
=（1+k2）x1x2-（1+2k2）（x1+x2）+1+4k2
=（1+k2）•-（1+2k2）•+1+4k2
=-1．    …（10分）
当直线斜率不存在时，
，解得E（2，），F（2，-），
此时=-1．    …（12分）
故．
所以为常数-1．…（12分）