Question

已知各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设为数列的前n项和，求证T_n＜5．

Answer

（Ⅰ）直接把n=1代入4Sn=an2+2an-3再结合各项均为正实数即可求出a1；
（Ⅱ）直接根据4Sn=+2an-3以及4sn-1=+2an-1-3；作差整理求出an-an-1=2，得到数列的规律，即可求出结论；
（Ⅲ）先求出数列的通项公式，在利用错位相减法求和，进而证明结论．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，4S1=4a1=+2a1-3，，得-4a1-3=0，
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3．      …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4Sn=+2an-3，4sn-1=+2an-1-3；
则4Sn-4Sn-1=+2an-3--2an-1+3，
所以4an=+2an--2an-1，-2an--2an-1=0，
（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an=2n+1．   …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）bn===2n，=，…（8分）
∴Tn=++…++，①…（9分）
将上式两边同乘以，得
Tn=++…++        ②…（10分）
①-②，得
Tn=+++…+-=-，
即Tn=5-．…（12分）
∵n∈N*，∴＞0
∴Tn＜5．…（13分）