Question

如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F₁和F₂，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点（不与点A、B重合），且∠APB=2α，∠F₁PF₂=2β．
（Ⅰ）若β=45°，三角形F₁PF₂的面积为36，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当点P在椭圆C上运动，试证明tanβ•tan2α为定值．

Answer

（Ⅰ）由题意三角形F1PF2为直角三角形，所以，即，结合三角形F1PF2的面积为36，可求得b2=36，利用椭圆C的离心率为，可得a2=100，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不妨设点P（x，y）在第一象限，则在三角形PF1F2中，，从而可得4c2=4a2-2|PF1||PF2|（1+cos2β），进而有=．
由，可得．作PC⊥x轴，垂足为C，故可求得，进而得，利用离心率，可求tanβ•tan2α是定值．
【解析】
（Ⅰ）∵∠F1PF2=2β=90°
∴三角形F1PF2为直角三角形，
∴，
∴，
∵三角形F1PF2的面积为36，
∴，
∴|PF1||PF2|=72
∴（2a）2-2×72=（2c）2，
∴b2=36．                                              …（2分）
∵椭圆C的离心率为，则，即，
∴a2=100，
∴椭圆C的方程为．                            …（4分）
（Ⅱ）不妨设点P（x，y）在第一象限，则在三角形PF1F2中，，
∴，
即4c2=4a2-2|PF1||PF2|（1+cos2β），
∴．
∴=．
∵，
∴b2tanβ=cy，即．                           …（6分）
作PC⊥x轴，垂足为C．
∵，，
∴．
∵，∴．
∴．                 …（8分）

∴，
∵离心率，
∴．
∴tanβ•tan2α是定值，其值为．                           …（10分）