Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）．
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|∙|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设y=kx+t（k＞0），联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出点E的坐标和OE所在直线方程，求点D的坐标，利用基本不等式即可求得m2+k2的最小值；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知OD所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点G的坐标，并代入若|OG|2=|OD|∙|OE|，得到t=k，因此得证直线过定点；
     （ii）若点B，G关于x轴对称，写出点B的坐标，求出△ABG的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出△ABG的外接圆方程．
【解析】
（Ⅰ）设y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0，由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2-3=0，
由题意△＞0，
所以3k2+1＞t2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=-，所以y1+y2=，
∵线段AB的中点为E，∴xE=，yE=，
此时kOE==-．
所以OE所在直线方程为y=-x，
又由题设知D（-3，m）．
令x=-3，得m=，即mk=1，
所以m2+k2≥2mk=2，
（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）知OD所在直线方程为y=-x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（-，），
又E（，），D（-3，），
由距离公式和t＞0，得
|OG|2=（-）2+（）2=，
|OD|=，
|OE|==．
由|OG|2=|OD|∙|OE|，
得t=k，
因此直线l的方程为y=k（x+1），
所以直线l恒过定点（-1，0）；
（ii）由（i）得G（-，），
若点B，G关于x轴对称，则B（-，-），
将点B坐标代入y=k（x+1），
整理得，
即6k4-7k2+1=0，解得k2=或k2=1，
验证知k2=时，不成立，故舍去
所以k2=1，又k＞0，故k=1，
此时B（-，-），G（-，）关于x轴对称，
又由（I）得x1=0，y1=1，所以点A（0，1），
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），
因此d2+1=（d+）2+，解得d=-，
故△ABG的外接圆的半径为r==，
所以△ABG的外接圆方程为．