Question

在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x²．实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）过点，A（p，p²）（p≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|⇔φ（a，b）=．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φ_min）和最大值（记为φ_max）

Answer

（1）求导，写出过点A（p，p2）（p≠0）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；
（2）求出过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，根据φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}，比较、|a-|、、|a-|的大小，即可证得结论；
（3）联立y=x-1，y=（x+1）2-求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题．
【解析】
（1）kAB=y′|x=p0=p，
直线AB的方程为y-p2=p（x-p），即y=px-p2，
∴q=pp-p2，方程x2-px+q=0的判别式△=p2-4q=（p-p）2，
两根x1，2==或p-，
而|p-|=||p|-|||，又0≤|p|≤|p|，
∴，得|p-|=||p|-|||，
∴φ（p，q）=；

（2）由a2-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞p2≥0，
得|p1|＞|p2|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞0＞p2，
且|p1|＞|p2|；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|．
综上所述，M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|．   （*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=或a-，
同理知点M在直线E′F′上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=或a-，
若φ（a，b）=，则不比|a-|、、|a-|小，
∴|p1|＞|p2|；又|p1|＞|p2|⇒M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=⇒M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=；
∴M（a，b）∈X⇔φ（p，q）=，综合（*）式，得证．

（3）联立y=x-1，y=（x+1）2-得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x，x2），则，
得x2-2px+4q=0，解得x=p+，
又q≥（p+1）2-，即p2-4q≤4-2p，
x≤p+，设=t，x≤=≤，
∴φmax=；
而x≥p+=p+|p-2|=2，
∴φmin==1．