Question

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格的人数为ξ，求ξ的概率分布列及Eξ．

Answer

（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1、B1；设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，由，能求出第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率．
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C，由此能够分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率．
（3）经过前后两次选拔后合格入选的人数为ξ，则ξ=0、1、2、3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和Pξ=2），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
【解析】
（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1、B1；
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则=0.5×0.4=0.2．
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C，
则P（A）=0.5×0.6=0.3，P（B）=0.6×0.5=0.3，P（C）=0.4×0.5=0.2．
（3）经过前后两次选拔后合格入选的人数为ξ，则ξ=0、1、2、3．
则P（ξ=0）=0.7×0.7×0.8=0.392，
P（ξ=1）=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434，
P（ξ=3）=0.3×0.3×0.2=0.018
P（ξ=2）=1-（0.392+0.434+0.018）=0.156
（或者P（ξ=2）=0.3×0.3×0.8+0.7×0.3×0.2+0.3×0.7×0.2=0.156）．
∴ξ的概率分布列为

ξ 1 2 3
P 0.392 0.434 0.156 0.018

∴．