Question

如图，在Rt△PAB中，∠A是直角，PA=4，AB=3，有一个椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若以PQ所在直线为x轴，线段PQ的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若经过点Q的直线l将Rt△PAB的面积分为相等的两部分，求直线l的方程．

Answer

（1）由题意利用椭圆的定义，求出AQ，推出椭圆的长轴与焦距，即可求椭圆的离心率；
（2）设出椭圆的方程，通过（1）求出a，b，即可得到椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设出经过点Q的直线l的方程，通过直线将Rt△PAB的面积分为相等的两部分，推出，求出A的坐标，求出C的坐标，即可求直线l的方程．
【解析】
（1）因为椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B，
所以由椭圆的定义知|AP|+|AQ|=|BP|+|BQ|，
因此4+|AQ|=5+（3-|AQ|），解得|AQ|=2．
于是椭圆的长轴长2a=4+2=6，焦距，
故椭圆的离心率．
（2）依题意，可设椭圆方程为，
由（1）知，，∴，∴椭圆方程为．
（3）依题意，设直线l的方程为，
设直线l与PA相交于点C，则，故|AC|=3，|PC|=1，从而．
设A（x，y），由|AP|=4，|AQ|=2，得，解得．
设C（x，y），由，得，解得．

∴，
∴直线l的方程为．