Question

对于数列{b_n}，2
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，，（n∈N^*），求证．b_n≤a_n．

Answer

（Ⅰ）由2，得，故（n+1）bn=n，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（Ⅱ）设要证，即证1-e-n≥，也即证（n+1）（1-e-n）≥n，即证 n+1≤en．由此能够证明bn≤an．
【解析】
（Ⅰ）2  …①
…②
①-②得：（n+1）bn=n，
∴，（n≥2）
n=1时，，
∴，
∴，（n≥1）．
（Ⅱ）要证，
 即证1-e-n≥，
也即证（n+1）（1-e-n）≥n，
即证 n+1≤en．
下面证n+1≤en：
设函数f（x）=1+x-ex，
f′（x）=1-ex，
令f′（x）=0，得：x=0
∴x＜0时，f′（x）＞0，
则f（x）在（-∞，0）上单增；
x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单减．
∴f（x）max=f（0）=0，
∴1+x-ex≤0，
∴1+n≤en．
故bn≤an．