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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,当E、F分别在线段AD...

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,当E、F分别在线段AD、BC上,且EF⊥BC,AD=4,CB=6,AE=2,现将梯形ABCD沿EF折叠,使平面ABFE与平面EFCD垂直.
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(1)判断直线AD与BC是否共面,并证明你的结论;
(2)当直线AC与平面EFCD所成角为多少时,二面角A-DC-E的大小是60°.
(1)直线AD与BC是异面直线,我们可以用两种不同的方法来证明结论. 反证法:假直线AD与BC共面,由线面平行的性质定理及平行公理,我们可以得到CD∥AB,这与已知中ABCD为梯形矛盾,进而得到直线AD与BC是异面直线; 直接法:在FC上取一点M,使FM=ED,根据平行四边形的判定及性质,可得DM∥AB,进而根据异面直线判定定理,得到结论; (2)延长CD,EF,相交于N,设AB=x,则△NDE中,NE=x,过E作EH⊥DN于H,连接AH,可证得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角,由已知中二面角A-DC-E的大小是60°我们可以构造方程求出x值,构造∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角,解三角形ACE即可求出直线AC与平面EFCD所成角,进而得到答案. 证明:(1)直线AD与BC是异面直线,(1分) 法一(反证法)假设直线AD与BC共面为α. ∵EF⊥BC,∠ABC=90°, ∴EF∥AB,EF⊄α,AB⊂α. ∴EF∥α,又EFCD∩α=CD ∴EF∥CD. ∴CD∥AB 这与ABCD为梯形矛盾.故假设不成立.即直线AD与BC是异面直线. 法二:在FC上取一点M,使FM=ED,又FM∥ED, ∴EFMD是平行四边形. ∴DM∥EF,又EF∥AB ∴DM∥AB, 则DM,AB确定平面α,B∈α,C∉α,AD⊂α ∴BC与AD是异面直线. 【解析】 (2)延长CD,EF,相交于N,AE=2,AD=4,BC=6, ∴ED=2,CF=4,设AB=x,则△NDE中,NE=x, ∵AE⊥EF,平面ABFE⊥平面EFCD, ∴AE⊥平面EFCD.过E作EH⊥DN于H,连接AH, 则AH⊥DN. ∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角, 则∠AHE=60°. ∵NE=x,DE=2 ∴HE=,AE=2, ∴tan∠AHE=== ∴x=, 此时在△EFC中,EF=,FC=4 ∴EC=3,.又AE⊥平面EFCD, ∴∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角, ∴tan∠ACE== 即当直线AC与平面EFCD所成角为arctan时,二面角A-DC-E的大小为60°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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