Question

已知a，b，c为正实数，a+b+c=1．
求证：（1）a²+b²+c²≥
（2）≤6．

Answer

（1）证法一，作差与0比较；证法二，利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，再用基本不等式可证；证法三，利用基本不等式；证法四，巧设变量，设a=+α，b=+β，c=+γ，根据a+b+c=1，可得α+β+γ=0，所以a2+b2+c2=（+α）2+（+β）2+（+γ）2=+α2+β2+γ2，故可证；（2）利用基本不等式即可证明．
（1）证法一：a2+b2+c2-=（3a2+3b2+3c2-1）
=[3a2+3b2+3c2-（a+b+c）2]
=[3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc]
=[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0∴a2+b2+c2≥
证法二：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1∴a2+b2+c2≥
证法三：∵
∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ．
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=（+α）2+（+β）2+（+γ）2
=+（α+β+γ）+α2+β2+γ2
=+α2+β2+γ2≥
∴a2+b2+c2≥
（2）证法一：
同理

∴原不等式成立．
证法二：=
∴≤＜6
∴原不等式成立．