Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=，证明：x，y，z∈[0，]．

Answer

证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+（1-x-y）2=，整理成关于y的一元二次方程得：2y2-2（1-x）y+2x2-2x+=0，根据y∈R，故△≥0；
证法二：构造新变量．设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，于是=x2+y2+z2=+x′2，从而可证；
证法三：反证法．设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，=x2+y2+z2≥x2+＞，矛盾；x、y、z三数中若有最大者大于，同理可得．
证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+（1-x-y）2=，整理成关于y的一元二次方程得：
2y2-2（1-x）y+2x2-2x+=0，∵y∈R，故△≥0
∴4（1-x）2-4×2（2x2-2x+）≥0，得0≤x≤，∴x∈[0，]
同理可得y，z∈[0，]
证法二：设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，
于是=（+x′）2+（+y′）2+（+z′）2
=+x′2+y′2+z′2+（x′+y′+z′）
=+x′2+y′2+z′2≥+x′2+=+x′2
故x′2≤，x′∈[-，]，x∈[0，]，
同理y，z∈[0，]
证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，=x2+y2+z2≥x2+，矛盾．
x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x＞，则=x2+y2+z2≥x2+=x2+=x2-x+
=x（x-）+＞，矛盾．
故x、y、z∈[0，]