Question

证明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R⁺，则z²≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=xyz，则≥2（）

Answer

（1）把不等式的左边减去右边，配方为3个完全平方的和的形式，大于或等于零，从而得到不等式的左边大于或等于右边
（2）根据条件，把要证的不等式等价转化为yz（y-z）2+xz（x-z）2+xy（x-y）2+x2（y-z）2+y2（x-z）2+z2（y-x）2≥0，而此式显然成立，从而不等式得证．
证明：（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，
∵-2（xy+yz+xz）=（）+（）+（）
=++≥0，
∴z2≥2（xy+yz+zx）成立．
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，要证的不等式等价于≥2（），
等价于 yz（y+z）+xz（x+z）+xy（x+y）≥2（yz+xz+xy），
等价于xyz[yz（y+z）+xz（x+z）+xy（x+y）]≥2（yz+xz+xy）2，
等价于（x+y+z）（y2z+yz2+x2z+xz2+x2y+xy2）≥2（x2y2+z2y2+z2x2）+4（x2yz+y2xz+z2xy），
等价于y3z+yz3+x3z+xz3+x3y+xy3≥2x2yz+2y2xz+2z2xy，
等价于yz（y-z）2+xz（x-z）2+xy（x-y）2+x2（y-z）2+y2（x-z）2+z2（y-x）2≥0．
而上式显然成立，故原不等式成立．
∵上式显然成立，∴原不等式得证．