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已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n. (1)证明niPmi<miPni; ...

已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.
(1)证明niPmi<miPni
(2)证明(1+m)n>(1+n)m
(1)先将要证的不等式变形为分别含m,n的式子,再利用排列数公式,据不等式的性质得证 (2)利用二项式定理再利用(1)的结论和排列数和组合数的关系得证. 证明:(1)对于1<i≤m有pmi=m••(m-i+1),, 同理, 由于m<n,对整数k=1,2,i-1,有, 所以,即mipni>nipmi. (2)由二项式定理有, , 由(1)知mipni>nipmi(1<i≤m<n), 而,, 所以,miCni>niCmi(1<i≤m<n). 因此,. 又mCn=nCm=1,mCn1=nCm1=mn,miCni>0(1<i≤m<n). ∴. 即(1+m)n>(1+n)m.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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