Question

若a＞0，b＞0，a³+b³=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

Answer

注意到已知条件是含有三次方的式子，因此想到将欲求证的式两边取三次方，再作差后利用用已知条件a3+b3=2代入得（a+b）3-23=3a2b+3ab2-6=3（a2b+ab2-2），再利用已知条件2=a3+b3代入，再用立方和公式因式分解，提公因式可得（a+b）3-23=-3（a+b）（a-b）2≤0．从而得到a+b≤2，最后结合基本不等式2≤a+b=2，得到ab≤1．
【解析】
（a+b）3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
∵a3+b3=2⇒6=3×2=3（a3+b3）
∴（a+b）3-23=3（a2b+ab2-a3-b3）=3[ab（a+b）-（a3+b3）]
又∵a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
∴（a+b）3-23=3（a+b）[ab-（a2-ab+b2）]
=3（a+b）（-a2+2ab-b2）=-3（a+b）（a-b）2．
∵a＞0，b＞0，得a+b＞0，-3＜0且（a-b）2≥0
∴-3（a+b）（a-b）2≤0
∴（a+b）3-23≤0⇒（a+b）3≤23
∴结合不等式的基本性质，得a+b≤2，
∵a、b是正数，
∴2≤a+b≤2，可得ab≤1．命题得证．