Question

已知函数，
（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer

（I）分两段分别证明f（x）=f（-x）即可证明函数为偶函数；
（II）设x2＞x1＞0，利用作差法讨论f（x2）-f（x1）的大小，即可证明函数在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，也可利用导数证明函数的单调性：先求函数的导函数f′（x），再在某区间内证明导函数值的正负，即可证明函数的单调性
【解析】
（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称．
当x＞0时，-x＜0，
则，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，
则，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）当x＞0时，，
设x2＞x1＞0，则
当x2＞x1≥2时，f（x2）-f（x1）＞0；当2≥x2＞x1＞0时，f（x2）-f（x1）＜0，
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（另证：当；
∵

∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．