Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）＞f（2-x₂）．

Answer

（1）对f（x）求导，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可确定出单调性和极值．（2）比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．（3）由（2）的结论知x＞1时，F（x）=f（x）-g（x）＞0，∴f（x2）＞g（x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞g（x2）．即可证得结论．
【解析】
（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．
令f'（x）=0，解得x=1．

x （-∞，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

∴f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=．

（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=，
则F'（x）=．
当x＞1时，1-x＜0，2x＞2，从而e2-e2x＜0，
∴F'（x）＞0，F（x）在（1，+∞）是增函数．
∴F（x）＞F（1）==0，故当x＞1时，f（x）＞g（x）．
（3）证明：∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数、
∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，x1、x2不可能在同一单调区间内．
不妨设x1＜1＜x2，
由（2）的结论知x＞1时，F（x）=f（x）-g（x）＞0，∴f（x2）＞g（x2）．
∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞g（x2）．
又g（x2）=f（2-x2），∴f（x1）＞f（2-x2）．