Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠C₁B₁C=45°，∠DC₁D₁=30°，且此长方体的顶点都在半径为的球面上，则DC₁与B₁C所成角的余弦值是    ，棱AA₁的长度为    ．

Answer

设棱AA1的长度为a，根据长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1B1C=45°，∠DC1D1=30°，可知BC的长度为a，CD的长度为a，利用长方体的顶点都在半径为的球面上，可求棱AA1的长度；连接AB1，AC，则AB1∥DC1，则∠A1B1C（或其补角）为DC1与B1C所成角，在△A1B1C中，，利用余弦定理可求DC1与B1C所成角的余弦值
【解析】
设棱AA1的长度为a
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠C1B1C=45°，∠DC1D1=30°
∴BC的长度为a，CD的长度为a
∵长方体的顶点都在半径为的球面上
∴
∴a=2
即棱AA1的长度为2
连接AB1，AC，则AB1∥DC1，
∴∠A1B1C（或其补角）为DC1与B1C所成角
在△A1B1C中，
∴
故答案为：，2