Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H为BC、CD、CC₁、C₁D₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁G⊥平面EFC₁；
（Ⅱ）求证：BH∥平面EFC₁．

Answer

（I）以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，求出向量、、的坐标，然后根据数量积为零证得，，从而证得结论；
（II）根据=，则、、共面，又BH不在平面EFC1内，根据线面平行的判定定理可知BH∥平面EFC1．
【解析】
如图，建立坐标系D-xyz，设正方体的边长为2，则各点的坐标为：A1（2，0，2）、B1（2，2，2）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，0）、F（0，1，0）、G（0，2，1），H（0，1，2）
（Ⅰ）∵，，
∴
∴
∵
∴而EF∩C1E=E
∴A1G⊥平面EFC1
（Ⅱ）∵=，
∴、、共面．
又BH不在平面EFC1内，∴BH∥平面EFC1