Question

已知ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，
（1）若异面直线PC与BD所成的角为θ，且，求|PA|；
（2）在（1）的条件下，设E为PC的中点，能否在BC上找到一点F，使EF⊥CD？
（3）在（2）的条件下，求二面角B-PC-D的大小．

Answer

（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，设|PA|=a，我们易求出异面直线PC与BD的方向向量的坐标，根据异面直线PC与BD所成的角为θ，且，构造关于a的方程，解方程即可求出|PA|的值；
（2）设F（x，1，0），我们分别求出直线EF和CD的方向向量，根据两直线垂直，两方向向量的数量积为0，构造关于x的方程，解方程求出x的值，即可找到满足条件的F点的位置．
（3）分别求出EF与PC的方向向量，根据其数量积为0，可得EF⊥PC，结合EF⊥CD由线面垂直的判定定理得EF⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理得平面PCB⊥平面PCD，由直二面角的定义可得二面角B-PC-D的大小．
【解析】
以A为坐标原点，AD，AB，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
（1）设|PA|=a，则P（0，0，a），C（2，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0）
∴
由已知得：=，即5+a2=6∴a=1（a＞0）即
（2）设能在BC上找到一点F，使EF⊥CD，设F（x，1，0），由（1）知P（1，0，0）∴，
则，又有，∵EF⊥CD，∴，
∴，即存在点满足要求．
（3）∵
∴EF⊥PC；
∵EF⊥CD且PC∩CD=C∴EF⊥平面PCD．EF⊂平面，
所以平面PCB⊥平面PCD，故二面角B-PC-D的大小为90°．