Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①若，则{a_n}为等差数列；
②若{a_n}为等差数列且a₁＞0，则数列为等比数列；
③若{a_n}为等比数列，则{lga_n}为等差数列；
④若{a_n}为等差数列，且S_n=100，a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=-120，则S_2n=90，其中真命题有    ．

Answer

利用等差数列的前n项和，判断①的正误；
利用等差数列的通项公式，利用等比数列的定义，判断数列为等比数列；推出②的正误；
利用特殊数列，通过反例判断③的正误；
利用等差数列的求和公式求出S2n-Sn，利用等差数列的性质，判断④的正误；
【解析】
因为等差数列的前n项和，是关于n的二次函数，不含非0常数项，所以①不正确；
{an}为等差数列且a1＞0，则数列为等比数列，所以an=a1+（n-1）d，
所以，==，
所以数列为等比数列，正确．
③若{an}为等比数列，则{lgan}为等差数列，如果an=-2，lgan没有意义，所以不正确；
对于④{an}为等差数列，且Sn=100，a2n+1+a2n+2+…+a3n=-120，则S2n=90，
所以S2n-Sn=90-100=-10，S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=-120，
100，-10，-120，是等差数列，所以④正确；
故答案为：②④．