Question

设抛物线过定点A（2，0），且以直线x=-2为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（2）已知点B（0，-5），轨迹C上是否存在满足•=0的M、N两点？证明你的结论．

Answer

（1）由题意要先求出抛物线的焦点，再有定义法这一常见的求动点的轨迹的方法求解抛物线的顶点的轨迹方程，同时要注意方程求解后的排杂这一过程；
（2）由（1）知道轨迹C为焦点在y轴的标准椭圆，由于过定点，过设斜率，要分斜率不存在与存在两种情况加以讨论，写出直线方程与椭圆方程进行联立进而求解．
【解析】
（1）设抛物线顶点P（x，y），则抛物线的焦点F（2x+2，y），
由抛物线的定义可得=4．
∴+=1．
∴轨迹C的方程为+=1（x≠2）．
（2）不存在．证明如下：
过点B（0，-5）斜率为k的直线方程为y=kx-5（斜率不存在时，显然不符合题意），
由得（4+k2）x2-10kx+9=0，
由△≥0得k2≥．
假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k1、k2，则|k1|≥，|k2|≥，显然不可能满足k1•k2=-1，
∴轨迹C上不存在满足•=0的两点．