Question

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（ ）
A．有极大值和极小值
B．有极大值无极小值
C．无极大值有极小值
D．无极大值无极小值

Answer

先将函数化简，再研究导函数为0的方程的根的情况，从而判断函数的极值情况．
【解析】
由题意，∵函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，
∴f（0）=0
∴b=0
∴f（x）=ax3+（a-1）x2+144x
∴f′（x）=3ax2+2（a-1）x+144
∴3ax2+2（a-1）x+144=0的根的判别式为△=4（a-1）2-12a×144=4（a2-434a+1）
∵△′=4342-4＞0
∴3ax2+2（a-1）x+144=0有两个不相等的实数根
∴f（x）有极大值和极小值．
故选A．