Question

求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出当x取何值时，函数取得最值．

Answer

利用换元法t=sinx-cosx，求出t的范围，通过二倍角求出sin2x与t的关系，得到函数关于t的二次函数，然后求出函数的最值，以及x的值．
【解析】
设，…（2分）
则t，
sin2x=2sinxcosx=1-t2．…（6分）
∴y=sin2x-2sinx+2cosx
=1-t2-2t
=-（t+1）2+2．…（8分）
∴当t=时，即x=2k，k∈Z时，y取得最小值为；…（11分）
当t=1时，即x=2kπ或2kπ时，y取得最大值为2．…（14分）